| Contents [0/7] |
| Adding up an arithmetic series [1/7] |
| What if N=32? [2/7] |
| What if N=64? [3/7] |
| Adding up an geometric series [4/7] |
| What if N=32? [5/7] |
| What if N=64? [6/7] |
| RelativeGrowth [7/7] |
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| Adding up an arithmetic series [1/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by adding 1:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + N
Let's count to 16!
01 02 02 03 03 03 04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 06 06 06 06 06 07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 08 09 09 09 09 09 09 09 09 09 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
You get a triangle, which is half of a square.
The sum is approximately N squared divided by 2.
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + N = (N^2)/2 + N/2
Why add N/2?
(N^2)/2 only includes half of the diagonal
| What if N=32? [2/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by adding 1:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + N
Let's count to 32!
01 02 02 03 03 03 04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 06 06 06 06 06 07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 08 09 09 09 09 09 09 09 09 09 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 26 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 27 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 28 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 29 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 30 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 31 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
| What if N=64? [3/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by adding 1:
0 + 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 + 7 + ... + N
Let's count to 64!
01 02 02 03 03 03 04 04 04 04 05 05 05 05 05 06 06 06 06 06 06 07 07 07 07 07 07 07 08 08 08 08 08 08 08 08 09 09 09 09 09 09 09 09 09 10 10 10 10 10 10 10 10 10 10 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 11 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 12 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 13 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 14 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 15 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 17 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 18 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 19 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 20 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 21 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 22 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 23 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 24 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 25 26 26 26 26 26 26 26 26 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58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 58 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 59 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 60 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 61 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 62 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 63 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64
| Adding up an geometric series [4/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by multiplying 2:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + N
Let's count to 16!
01 02 02 04 04 04 04 08 08 08 08 08 08 08 08 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
The last element is so large that all the prior elements can be placed on top without overlapping
This is like flat packing
08 08 08 08 08 08 08 08 04 04 04 04 02 02 01 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16
The sum is approximately 2 times N.
1 + 2 + 4 + 8 + ... + 2^k = 2^(k+1) - 1
| What if N=32? [5/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by multiplying 2:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + N
Let's count to 32!
01 02 02 04 04 04 04 08 08 08 08 08 08 08 08 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
Flat packing:
16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 08 08 08 08 08 08 08 08 04 04 04 04 02 02 01 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32
| What if N=64? [6/7] |
Suppose we add up the elements we get counting by multiplying 2:
1 + 2 + 4 + 8 + 16 + 32 + 64 + 128 + ... + N
Let's count to 64!
01 02 02 04 04 04 04 08 08 08 08 08 08 08 08 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64
Flat packing:
32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 32 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 16 08 08 08 08 08 08 08 08 04 04 04 04 02 02 01 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64 64
| RelativeGrowth [7/7] |
Let t2 = 1 + 2 + 4 + 8 + 16 + ... + N
Let p1 = 0 + 1 + 2 + 3 + 4 + ... + N
N t2 p1
---------------------------------------------
1 1 1
2 3 3
4 7 10
8 15 36
16 31 136
32 63 528
64 127 2_080
128 255 8_256
256 511 32_896
512 1_023 131_328
1_024 2_047 524_800
2_048 4_095 2_098_176
4_096 8_191 8_390_656
8_192 16_383 33_558_528
16_384 32_767 134_225_920
32_768 65_535 536_887_296
65_536 131_071 2_147_516_416
131_072 262_143 8_590_000_128
262_144 524_287 34_359_869_440
524_288 1_048_575 137_439_215_616
1_048_576 2_097_151 549_756_338_176
Quadratic growth is pretty bad!